\documentclass[11pt,a4paper]{article}

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\rhead{지고하 조합}

\lhead{\thepage}

\cfoot{}

\begin{document}

\flushleft

\newenvironment{putin}[1]{%

\settowidth{\parindent}{#1\ }

\makebox[0pt][r]{#1\ }}{}

\section{2011.1.19}

\subsection{p.286 예제 05}

\textbf{\underline{문제}} \\

작은 네모칸이 $n$행 $n$열로 배열되어 있다. 각 칸에 세 숫자 1, 2, 3 가운데의 한 숫자를 써넣되 각 행, 각 열, 각 대각선 위의 숫자의 합이 모두 서로 다르게 할 수 있는가? \\\\

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}

\hline

1 & 1 & 2 & \cdots & 3 \\ \hline

3 & 1 & 2 & \cdots & 2 \\ \hline

1 & 3 & 1 & \cdots & 3 \\ \hline

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \hline

2 & 2 & 1 & \cdots & 2 \\ \hline

\end{tabular} \\

\textbf{\underline{풀이}} \\

1, 2, 3을 총 $n$번 사용하여 만들 수 있는 합은 $n$부터 3$n$까지 \textbf{2$\textbf{n}$+1}가지가 있다.또 $n$행 $n$열로 배열된 작은 네모칸들에는 $n$개 행, $n$개 열, 그리고 2개의 대각선이 있으므로 총 \textbf{2$\textbf{n}$+2}개의 합이 있다. 따라서 비둘기집의 원리에 의해 어느 두 합은 같게 된다. 그러면 조건을 만족하지 못한다. \\

\begin{math}\therefore\end{math} 각 행, 열, 대각선 위의 숫자의 합이 모두 서로 다르게 숫자들을 써넣을 수는 없다.

\newpage

\subsection{p.294 연습 03}

\textbf{\underline{문제}} \\

수열 \begin{math}\{a_n\};a_1<a_2<\cdots\end{math}가 양의 무한증가수열일 때, 다음을 증명하여라. \\

(1) 모든 \begin{math}k \ge k_0\end{math}에 대하여 부등식 \\

\begin{displaymath}

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1

\end{displaymath}\\

\hspace{5.5mm}을 만족하는 양의 정수 \begin{math}k_0\end{math}이 존재한다. \\

(2) 충분히 큰 모든 \begin{math}k\end{math}에 대하여 부등식

\begin{displaymath}

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1985

\end{displaymath}\\

\hspace{5.5mm}가 성립한다. \\

\textbf{\underline{풀이}} \\

\begin{putin}{(1)}먼저 다음과 같이 접근해본다. \\

\begin{tabular}{r l}

& \begin{math}\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1\end{math} \\

\iff & \begin{math}k-(\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_k}{a_{k+1}})>1\end{math} \\

\iff & \begin{math}(1-\frac{a_1}{a_2})+(1-\frac{a_2}{a_3})+\cdots+(1-\frac{a_k}{a_{k+1}})\end{math} \\

& \begin{math}=\frac{a_2-a_1}{a_2}+\frac{a_3-a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{k+1}-a_k}{a_{k+1}} \\

& \begin{math}>\frac{(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots+(a_{k+1}-a_k)}{a_{k+1}}} \\

& \begin{math}=\frac{{a_{k+1}-a_1}{a_{k+1}}}\end{math}

\end{tabular} \\

\begin{putin}{(2)}위와 같이 \begin{math}\max\{\frac{a_1}{a_{2}},\frac{a_2}{a_3},\cdots\}=1-\alpha\end{math}라 하자. 그러면 다시 \\

\begin{displaymath}

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-k\alpha

\end{displaymath}\\

가 성립하고, 따라서 \begin{math}k>1985/\alpha\end{math}인 모든 \begin{math}k\end{math}에 대해 \\

\begin{displaymath}

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1985

\end{displaymath}\\

가 성립함을 알 수 있다. \\

\begin{math}\therefore\end{math} 충분히 큰 모든 \begin{math}\end{math}에 대해 위의 식이 성립한다.\end{putin}

\end{document}

PDF파일 형성이 안되는 이유가 뭘까요??